题目内容

设数列a_n的首项 $数学公式$ ，且 $数学公式$ ，记 $数学公式$
（1）求a₂•a₃
（2）判断数列{b_n}是否为等比数列，并证明你的结论；
（3）证明b₁+3b₂+5b₃ $数学公式$ ．

（1）解：由题意，a₂=a₁+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，a₃= $\text{[math]}$ a₂= $\text{[math]}$ ---------------------------------（4分）
（2）解：{b_n}是等比数列
证明如下：因为b_n+1=a_2n+1- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ a_2n- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （a_2n-1- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ b_n，（n∈N^*）
所以{b_n}是首项为 $\text{[math]}$ ，公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列
所以 $\text{[math]}$ -----（8分）
（3）证明：（2n-1）b_n= $\text{[math]}$
令S_n=b₁+3b₂+5b₃+…+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +3• $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ①，则
$\text{[math]}$ S_n= $\text{[math]}$ +3• $\text{[math]}$ +…+（2n-3）• $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ②
①-②可得 $\text{[math]}$ S_n= $\text{[math]}$ +2• $\text{[math]}$ +2• $\text{[math]}$ +…+2• $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$
∴S_n= $\text{[math]}$ ，显然小于 $\text{[math]}$ ---------（13分）
分析：（1）利用数列递推式，代入计算可得结论；
（2）{b_n}是等比数列，利用 $\text{[math]}$ ，代入计算可可以证明；
（3）利用错位相减法求和，即可证得结论．
点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查错位相减法，考查学生的计算能力，属于中档题．