题目内容
【题目】已知椭圆
：
（
）的左、右焦点分别为
、
，过右焦点的直线
：
与椭圆交于
，
两点.当
时，是椭圆的下顶点，且
的周长为6.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的右顶点为
，直线
、
分别与直线
交于
、
点，证明：当
变化时，以线段
为直径的圆与直线相切.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
（1）由
与椭圆
交于
两点.当
时，
是椭圆的下顶点，且
的周长为6，得
，
，解得
，即可得到本题答案;
（2）联立直线方程
与椭圆方程，得
，
，先求得
两点的坐标，然后可以表示出以线段
为直径的圆的标准方程，最后由圆心到直线的距离等于半径，即可得到本题答案.
（1）由题意知，，∴
①
又当时，直线
的方程为
，∴
，∴②
联立①、②有
，
，∴椭圆的方程为.
（2）设
、
，
将直线：代入中有
，
∴，，
此时
：
，
：
，
∴
、
，
∴以线段为直径的圆的方程为
.
化简得：
，
又圆心
到直线：的距离为
.
∴以线段为直径的圆与直线相切.
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