题目内容
如图△ABC为正三角形，边长为2，以点A为圆心，1为半径作圆，PQ为圆A的任意一条直径．（1）若
| CD |
| 1 |
| 2 |
| DB |
| AD |
（2）求
| BQ |
| CP |
（3）判断
| BP |
| CQ |
| BQ |
| CP |
分析：（1）选定
，
为基向量，由题设条件知，此两向量的模是2，夹角是
，根据题设条件
=
，及向量加法用两个基向量表示出
，再求它的模；
（2）设∠PAB=θ，则∠CAQ=120°-θ，由数量积公式及向量的三角形法则进行变形，将
•
表示成∠PAB=θ的三角函数，由正弦函数的性质求出最值；
（3）由（2）将
•
+
•
中两个向量的数量积表示成θ的三角函数，再进行运算，得出
•
+
•
=2是一个常数由此得出结论
| CB |
| CA |
| π |
| 3 |
| CD |
| 1 |
| 2 |
| DB |
| AD |
（2）设∠PAB=θ，则∠CAQ=120°-θ，由数量积公式及向量的三角形法则进行变形，将
| BQ |
| CP |
（3）由（2）将
| BP |
| CQ |
| BQ |
| CP |
| BP |
| CQ |
| BQ |
| CP |
解答：解：（1）∵
=
-
=
-
，∴|
|2=(
-
)2∴=
2-
•
+
2=
-
×2×2×
+4=
，
∴|
|=
（2）设∠PAB=θ，则∠CAQ=120°-θ
∴
•
=(
-
)•(
-
)=
•
-
•
-
•
+
•
=-1-1×2×cos(120°-θ)-1×2×cosθ+2×2×
=1-cosθ-
sinθ=1-2sin(θ+
)
当sin(θ+
)=1时，即θ=2kπ+
，k∈Z时，
•
有最小值-1，
（3）
•
+
•
的值不随点P的变化而变化
∵
•
=(
+
)•(
+
)=1+cosθ+
sinθ=1+2sin(θ+
)
由（2）知
•
=1-2sin(θ+
)，
∴
•
+
•
=2，
所以∴
•
+
•
的值不随点P的变化而变化．
| AD |
| CD |
| CA |
| 1 |
| 3 |
| CB |
| CA |
| AD |
| 1 |
| 3 |
| CB |
| CA |
| 1 |
| 9 |
| CB |
| 2 |
| 3 |
| CB |
| CA |
| CA |
| 4 |
| 9 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 28 |
| 9 |
∴|
| AD |
2
| ||
| 3 |
（2）设∠PAB=θ，则∠CAQ=120°-θ
∴
| BQ |
| CP |
| AQ |
| AB |
| AP |
| AC |
| AQ |
| AP |
| AQ |
| AC |
| AB |
| AP |
| AB |
| AC |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| π |
| 6 |
当sin(θ+
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| BQ |
| CP |
（3）
| BP |
| CQ |
| BQ |
| CP |
∵
| BP |
| CQ |
| BA |
| AP |
| CA |
| AQ |
| 3 |
| π |
| 6 |
由（2）知
| BQ |
| CP |
| π |
| 6 |
∴
| BP |
| CQ |
| BQ |
| CP |
所以∴
| BP |
| CQ |
| BQ |
| CP |
点评：本题考查向量在几何中的应用，解题的关键是掌握几何中的关系与向量的对应，本题中主要用到了线段的长度与向量的模的对应，本题考查了转化化归的思想，将求向量内积的最值的问题转化为三角函数的最值，根据所研究问题的实际情况恰当的转化研究问题的角度，是数学解题中常用的技巧，本题由有符号运算与数字运算，运算量较大，解题时要认真严谨．
练习册系列答案
培优口算题卡系列答案
开心口算题卡系列答案
口算题卡河北少年儿童出版社系列答案
相关题目
如图，S是边长为a的正三角ABC所在平面外一点，SA=SB=SC=a，E、F是AB和SC的中点，则异面直线SA与EF所成的角为
，延长CB到D，使CB＝BD．
