题目内容
给定椭圆C：
，称圆心在原点O、半径为
的圆是椭圆C的“伴椭圆” ，若椭圆C的一个焦点为
,其短轴上的一个端点到
距离为
；
（1）、求椭圆C的方程及其“伴椭圆”的方程；
（2）、若倾斜角为
的直线与椭圆C只有一个公共点，且与椭圆C的“伴椭圆”相交于M、N两点，求弦MN的长。
（3）、若点P是椭圆C“伴椭圆”上一动点，过点P作直线
，使得与椭圆C都只有一个公共点，求证：
。
，称圆心在原点O、半径为的圆是椭圆C的“伴椭圆” ，若椭圆C的一个焦点为,其短轴上的一个端点到距离为；（1）、求椭圆C的方程及其“伴椭圆”的方程；
（2）、若倾斜角为
的直线与椭圆C只有一个公共点，且与椭圆C的“伴椭圆”相交于M、N两点，求弦MN的长。（3）、若点P是椭圆C“伴椭圆”上一动点，过点P作直线
，使得与椭圆C都只有一个公共点，求证：。解：（1）因为
，所以
……………………………………………2分
所以椭圆的方程为
，伴随圆的方程为
.………………4分
（2）设直线
的方程
，由
得
由
得
…………………………6分
圆心到直线的距离为
，所以
………………………………8分
（3）①、当
中有一条无斜率时，不妨设
无斜率，
因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为
或
，
当方程为时，此时与伴随圆交于点
此时经过点
（或
且与椭圆只有一个公共点的直线是
(或
，
即
为(或，显然直线垂直；
同理可证方程为时，直线垂直.…………………………10分
②、当都有斜率时，设点
其中
，
设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为
，
由
，消去
得到
，
即
，……………………12分
，
经过化简得到：
，
因为，所以有
，…………………14分
设的斜率分别为
，因为与椭圆都只有一个公共点，
所以满足方程，
因而
，即垂直.……………………………………………………16分
，所以……………………………………………2分所以椭圆的方程为
，伴随圆的方程为.………………4分（2）设直线
的方程，由得 由
得…………………………6分圆心到直线
的距离为 ，所以………………………………8分（3）①、当
中有一条无斜率时，不妨设无斜率，因为
与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，当
方程为时，此时与伴随圆交于点此时经过点
（或且与椭圆只有一个公共点的直线是(或，即
为(或，显然直线垂直；同理可证
方程为时，直线垂直.…………………………10分②、当
都有斜率时，设点其中，设经过点
与椭圆只有一个公共点的直线为，由
，消去得到，即
，……………………12分，经过化简得到：
， 因为
，所以有，…………………14分设
的斜率分别为，因为与椭圆都只有一个公共点，所以
满足方程，因而
，即垂直.……………………………………………………16分略
练习册系列答案
相关题目
的一个顶点为
，离心率
与椭圆交于不同的两点
，且满足
，
，求直线
的方程.
在直线
上。
截得的弦长为2的圆的方程；
与双曲线
有相同的焦点，且椭圆与双曲线交于
点
，求椭圆及双曲线的方程.
的右焦点F为圆心,并过椭圆的短轴端点的圆的方程为_
表示椭圆，则实数
的取值范围是____________________；
的一个焦点为
，则
等于 .
的
左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴， 直线AB交
轴于点P，若
，则椭圆的离心率是（ ）
，过右焦点
斜率为
的直线与椭圆
交于
、
两
，则椭圆
