题目内容

设点F₁（-c，0）、F₂（c，0）分别是双曲线 $数学公式$ 的左右焦点，P为双曲线上的一点，且 $数学公式$ ，则此双曲线的离心率的取值范围是________．

[ $\text{[math]}$ ）
分析：设P（m，n），得 $\text{[math]}$ =m²-c²+n²=- $\text{[math]}$ c²，整理得：m²+n²= $\text{[math]}$ c²…（1）．根据点P（m，n）是双曲线 $\text{[math]}$ 上的点，得n²=b²（ $\text{[math]}$ -1），代入（1）式并整理得： $\text{[math]}$ m²= $\text{[math]}$ c²-a²…（2）．最后根据m满足m²≥a²，代入（2）式解关于a、c的不等式，得c $\text{[math]}$ ，由此即可得出此双曲线的离心率的取值范围．
解答：设P（m，n），得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ =（-c-m）（c-m）+n²=- $\text{[math]}$ c²，即m²+n²= $\text{[math]}$ c²，…（1）
∵P（m，n）是双曲线 $\text{[math]}$ 上的点，
∴ $\text{[math]}$ ，解得n²=b²（ $\text{[math]}$ -1），代入（1）式得
$\text{[math]}$ m²-b²= $\text{[math]}$ c²，整理得： $\text{[math]}$ m²= $\text{[math]}$ c²-a²，…（2）
∵点P在双曲线上，横坐标满足|m|≥a
∴m²≥a²，代入（2）式，得 $\text{[math]}$ c²-a²≥ $\text{[math]}$ •a²=c²
化简，得 $\text{[math]}$ ≥a²，所以c $\text{[math]}$ ，
因此双曲线的离心率e= $\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$ ，得e∈[ $\text{[math]}$ ）
故答案为：[ $\text{[math]}$ ）
点评：本题给出双曲线上点P指向两个焦点F₁、F₂的向量的数量积，求此双曲线离心率的取值范围，着重考查了向量数量积的公式和双曲线的简单几何性质等知识，属于中档题．