Question

（2013•揭阳一模）如图，设点F₁（-c，0）、F₂（c，0）分别是椭圆C：

x2

a2

+y2=1(a＞1)的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且

PF1

•

PF2

最小值为0．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l₁：y=kx+m，l₂：y=kx+n，若l₁、l₂均与椭圆C相切，证明：m+n=0；
（3）在（2）的条件下，试探究在x轴上是否存在定点B，点B到l₁，l₂的距离之积恒为1？若存在，请求出点B坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设出P点坐标，得到向量

PF1

，

PF2

的坐标，由代入

PF1

•

PF2

得到关于x的函数关系式，求出其最小值，由最小值等于0得到c的值，则a²可求，所以椭圆C的方程可求；
（2）把两条直线方程分别和椭圆方程联立，由判别式等于0得到m与k和n与k的关系，进一步证出m+n=0；
（3）假设在x轴上存在定点B，使点B到l₁，l₂的距离之积恒为1，由点到直线的距离公式求出点B到l₁，l₂的距离，代入后利用等式恒成立求出B点的横坐标．

解答：解：（1）设P（x，y），则有

PF1

=(-c-x，-y)，

PF2

=(c-x，-y).

PF1

•

PF2

=x2+y2-c2=

a2-1

a2

x2+1-c2，x∈[-a，a]．
由

PF1

•

PF2

最小值为0，得1-c²=0，所以c=1，则a²=b²+c²=1+1=2，
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1；
（2）把y=kx+m代入椭圆

x2

2

+y2=1，得（1+2k²）x²+4mkx+2m²-2=0，
∵直线l₁与椭圆C相切，∴△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）=0，化简得m²=1+2k²，
把y=kx+n代入椭圆

x2

2

+y2=1，得（1+2k²）x²+4nkx+2n²-2=0，
∵直线l₂与椭圆C相切，∴△=16k²n²-4（1+2k²）（2n²-2）=0，化简得n²=1+2k²，
∴m²=n²，若m=n，则l₁，l₂重合，不合题意，
∴m=-n，即m+n=0；
（3）设在x轴上存在点B（t，0），点B到直线l₁，l₂的距离之积为1，
则

|kt+m|

k2+1

•

|kt-m|

k2+1

=1，即|k²t²-m²|=k²+1，
把1+2k²=m²代入并去绝对值整理，得k²（t²-3）=2或k²（t²-1）=0，
k²（t²-3）=2不满足对任意的k∈R恒成立；而要使得k²（t²-1）=0对任意的k∈R恒成立
则t²-1=0，解得t=±1；
综上所述，满足题意的定点B存在，其坐标为（-1，0）或（1，0）．

点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．