题目内容
设点F1（-c，0）、F2（c，0）分别是双曲线
-
=1的左右焦点，P为双曲线上的一点，且
•
=-
，则此双曲线的离心率的取值范围是
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| PF1 |
| PF2 |
| 2c2 |
| 3 |
[
，+∞）
| 3 |
[
，+∞）
．| 3 |
分析：设P（m，n），得
•
=m2-c2+n2=-
c2，整理得：m2+n2=
c2…（1）．根据点P（m，n）是双曲线
-
=1上的点，得n2=b2（
-1），代入（1）式并整理得：
m2=
c2-a2…（2）．最后根据m满足m2≥a2，代入（2）式解关于a、c的不等式，得c≥
a，由此即可得出此双曲线的离心率的取值范围．
| PF1 |
| PF2 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| m2 |
| a2 |
| c2 |
| a2 |
| 4 |
| 3 |
| 3 |
解答：解：设P（m，n），得
=(-c-m，-n)，
=(c-m，-n)
∴
•
=（-c-m）（c-m）+n2=-
c2，即m2+n2=
c2，…（1）
∵P（m，n）是双曲线
-
=1上的点，
∴
-
=1，解得n2=b2（
-1），代入（1）式得
m2-b2=
c2，整理得：
m2=
c2-a2，…（2）
∵点P在双曲线上，横坐标满足|m|≥a
∴m2≥a2，代入（2）式，得
c2-a2≥
•a2=c2
化简，得
c2≥a2，所以c≥
a，
因此双曲线的离心率e=
≥
，得e∈[
，+∞）
故答案为：[
，+∞）
| PF1 |
| PF2 |
∴
| PF1 |
| PF2 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
∵P（m，n）是双曲线
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
∴
| m2 |
| a2 |
| n2 |
| b2 |
| m2 |
| a2 |
| c2 |
| a2 |
| 1 |
| 3 |
| c2 |
| a2 |
| 4 |
| 3 |
∵点P在双曲线上，横坐标满足|m|≥a
∴m2≥a2，代入（2）式，得
| 4 |
| 3 |
| c2 |
| a2 |
化简，得
| 1 |
| 3 |
| 3 |
因此双曲线的离心率e=
| c |
| a |
| 3 |
| 3 |
故答案为：[
| 3 |
点评：本题给出双曲线上点P指向两个焦点F1、F2的向量的数量积，求此双曲线离心率的取值范围，着重考查了向量数量积的公式和双曲线的简单几何性质等知识，属于中档题．
练习册系列答案
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的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且
最小值为0．