Question

△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量

m

=（sinB，1-cosB），

n

=（sinB，cosB），且

m

•

n

=0．
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）求证：b²≥3ac．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据平面向量的数量积的运算法则，利用

m

和

n

的坐标表示及

m

•

n

=0，得到一个关系式，利用同角三角函数间的基本关系可化为关于cosB的一元二次方程，求出方程的解即可得到cosB的值，然后根据B的范围得到满足题意的cosB的值；
（Ⅱ）由（I）求得的cosB的值，利用余弦定理表示出cosB得到一个关系式，利用基本不等式即可得证．

解答：解：（I）∵

m

=（sinB，1-cosB），

n

=（sinB，cosB），又

m

•

n

=0，
∴sin²B+cosB-cos²B=0．
∴2cos²B-cosB-1=0．
解得cosB=-

1

2

或cosB=1（舍）．
∵0＜B＜π，
∴cosB=-

1

2

．

（II）由（I）可知cosB=-

1

2

，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=-

1

2

．
即b²=a²+c²+ac．
又∵a²+c²≥2ac，
∴b²≥3ac．

点评：此题考查学生灵活运用余弦定理、同角三角函数间的基本关系化简求值，掌握平面向量的数量积的运算，是一道综合题．