题目内容
如图，在四棱锥S － ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA =AB=BC =2，AD =1．M是棱SB的中点．
（Ⅰ）求证：AM∥面SCD；
（Ⅱ）求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值；
（Ⅲ）设点N是直线CD上的动点，MN与面SAB所成的角为
，求sin的最大值，
解：（Ⅰ）以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则
， 
，
，
，
，
.
则
.
设平面SCD的法向量是
则
即
令
，则
，于是
.
，
.
AM∥平面SCD. ……………………………………………………（4分）
（Ⅱ）易知平面SAB的法向量为
.设平面SCD与平面SAB所成的二面角为
，
则
，即
.
平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值为
.………………………………（8分）
（Ⅲ）设
，则
.
又，面SAB的法向量为，
所以，
.
.
当
，即
时，
.………………………………………………（12分）
练习册系列答案
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