题目内容

已知双曲线 $数学公式$ 的右定点为A，右焦点为F，右准线与x轴交于点B，且与一条渐近线交于点C，点O为坐标原点，又OA=2OB，OA•OC=2，过点F的直线与双曲线右交于点M、N，点P为点M关于x轴的对称点．
（1）求双曲线的方程；
（2）证明：B、P、N三点共线；
（3）求△BMN面积的最小值．

解：（I）由题意得A（a，0），B（ $\text{[math]}$ ，又 $\text{[math]}$ ? $\text{[math]}$ …①
由 $\text{[math]}$ ? $\text{[math]}$ ? $\text{[math]}$
联立①、②，得a=2，c=4
∴双曲线的方程为 $\text{[math]}$ ．

（II）由（I），得点B（1，0），F（4，0），设直线l的方程为x=ty+4
由 $\text{[math]}$ ?（3t²-1）y²+24ty+36=0
∴ $\text{[math]}$
∵（x₁-1）y₂-（x₂-1）（-y₁）=x₁y₂+x₂y₁-（y₁+y₂）=（ty₁+4）y₂+（ty₂+4）y₁=（ty₁+4）y₂+（ty₂+4）y₂
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$
∴向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 共线，∴B、P、N三点共线．

（III）∵直线l与双曲线右支相交于M、N两点
∴x₁x₂=（ty₂+4）（ty₂+4）=t²y₁y₂+4t（y₁+y₂）+16
= $\text{[math]}$ ? $\text{[math]}$ ? $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
令u=1-3t²，u∈（0，1]
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
由u∈（0，1]? $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，即t=0时，△BMN面积最小值为18．
分析：（I）由题意得A（a，0），B（ $\text{[math]}$ ，又 $\text{[math]}$ ? $\text{[math]}$ …①． $\text{[math]}$ ，由题设知 $\text{[math]}$ ? $\text{[math]}$
联立①、②，得a=2，c=4．由此可得双曲线的方程．
（II）由题设得点B（1，0），F（4，0），设直线l的方程为x=ty+4，由 $\text{[math]}$ ?（3t²-1）y²+24ty+36=0，由此入手可证出B、P、N三点共线．
（III）由题意知x₁x₂=（ty₂+4）（ty₂+4）=t²y₁y₂+4t（y₁+y₂）+16= $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，由此能求出△BMN面积的最小值．
点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细求解．