Question

（2013•延庆县一模）已知f（x）=

3

sin2x-2sin²x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）若x∈[0，

π

6

]，求f（x）的最小值及取得最小值时对应的x的取值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式为2sin(2x+

π

6

)-1，由此可得它的周期．令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），求得x的范围，即可求得函数的增区间．
（Ⅱ）根据x∈[0，

π

6

]，利用正弦函数的定义域和值域、单调性求得f（x）的最小值及取得最小值时对应的x的取值．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

3

sin2x+cos2x-1=2sin(2x+

π

6

)-1，…（4分）
∵T=

2π

2

=π，∴f（x）最小正周期为π．…（5分）
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），得               …（6分）
-

2π

3

+2kπ≤2x≤

π

3

+2kπ，…（7分）
-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，…（8分）
∴f（x）单调递增区间为[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ](k∈Z)．…（9分）
（Ⅱ）当x∈[0，

π

6

]时，2x+

π

6

∈[

π

6

，

π

2

]，…（10分）
∴f（x）在区间[0，

π

6

]单调递增，…（11分）
∴[f（x）]_min=f（0）=0，对应的x的取值为0．…（13分）

点评：本题主要考查两角和差的正弦公式，正弦函数的单调性、周期性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．