Question

如图，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，点M是A₁B的中点，点N是B₁C的中点，连接MN

（Ⅰ）证明：MN//平面ABC；

（Ⅱ）若AB=1，AC=AA₁=，BC=2，求二面角A—A₁C—B的余弦值的大小

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；

【解析】

试题分析：（Ⅰ）主要利用线线平行可证线面平行；（Ⅱ）通过作平行线转化到三角形内解角；当然也可建系利用空间向量来解；

试题解析：（Ⅰ）证明：连接AB₁，

∵四边形A₁ABB₁是矩形，点M是A₁B的中点，

∴点M是AB₁的中点；∵点N是B₁C的中点，

∴MN//AC，∵MN平面ABC，AC平面ABC，

∴MN//平面ABC        6分

（Ⅱ）解 ：（方法一）如图，作，交于点D，

  由条件可知D是中点，连接BD，∵AB=1，AC=AA₁=，BC=2，

∴AB²＋AC²= BC²，∴AB⊥AC，

∵AA₁⊥AB，AA₁∩AC=A，∴AB⊥平面

∴AB⊥A₁C, ∴A₁C⊥平面ABD，∴∴为二面角A—A₁C—B的平面角，在，  ， ，

在等腰中，为中点，， ∴中，，

中，，

∴二面角A——B的余弦值是    12分

（方法二） 三棱柱为直三棱柱，

∴，，，

， ∴，∴

如图，建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0), B(0,1,0), C(,0,0), A₁(0,0,)，

如图，可取为平面的法向量，

设平面的法向量为，

则,，

则由又

，不妨取m=1，则，

可求得，      12分

考点：立体几何线平行的证明、二面角的求解，考查学生的空间想象能力和空间向量的使用