题目内容
(本小题满分12分)
己知三棱
柱
，
在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，
，
，又知
(1)求证：
平面
；
(2)求点C到平面
的距离；
(3)求二面角
余弦值的大小．
己知三棱
柱
，
在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，
，
，又知
(1)求证：
平面
；(2)求点C到平面
的距离；(3)求二面角
余弦值的大小．（1）略（2）
（3）
（3）
解法一
（1）
得
，因为
底
，所以
，
，所以
面
，所以
……3分
因为
，
，所以
底
……1分
（2）由（1）得
，所以
是菱形，……1分
所以
，
，……1分
由
，得 ……2分
（3）设
，作
于
，连
，由（1）所以
，所以
为二面角平面角，……2分
在
中
，所以
，所以二面角余弦 ……2分
解法二
（1）如图，取
的中点
，则
，因为
，所以
，又
平面
，以
为
轴建立空间坐标系，则
，
，
，
，
， ……1分
，
，
， ……1分
由
，知
， ……1分
又
，从而
平面
；
……1分
（2）由
，得
……1分
设平面的法向量为
，
，
，所以
，设
，则
……2分
所以点
到平面的距离
……1分
（3）再设平面的法向量为
，
，，……1分
所以
，设，则
， 
……2分
故
，根据法向量的方向可知二面角的余弦值大小为
……1分
（1）
得
，因为
底
，所以
，
，所以
面
，所以
……3分因为
，
，所以
底
……1分
（2）由（1）得
，所以
是菱形，……1分所以
，
，……1分由
，得 ……2分（3）设
，作
于
，连
，由（1）所以
，所以
为二面角平面角，……2分在
中
，所以
，所以二面角余弦 ……2分解法二
（1）如图，取
的中点
，则
，因为
，所以
，又
平面
，以
为
轴建立空间坐标系，则
，
，
，
，
， ……1分
，
，
， ……1分由
，知
， ……1分又
，从而
平面
；
……1分（2）由
，得
……1分设平面
的法向量为
，
，
，所以
，设
，则
……2分所以点
到平面的距离
……1分（3）再设平面
的法向量为
，
，，……1分所以
，设，则
， 
……2分故
，根据法向量的方向可知二面角的余弦值大小为
……1分
练习册系列答案
相关题目
平面BCD；
，
，
．求证：
,正视图是边长为2的正方形，
的球的内接三棱柱
的底面是等腰直角三角形，
底面
，
，则此三棱柱的体积为 .
的菱形，则该棱柱的体积等于_____________．