Question

数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，

an+2

an

=

a 2 n+2 +1

a 2 n +1

，n=1，2，3，…．
（I）求证：a_n+1=a_n+

1

an

，（n=1，2，3…）
（II）求证：

2n-1

≤an≤

3n-2

；
（III）令b_n=

an+1

n

，（n=1，2，3，…），判断b_n与b_n+1的大小，并说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题设知当n≥1时，

an+2

an

=

a 2 n+1 +1

a 2 n +1

，所以

an+2an+1

a 2 n+1 +1

=

an+1an

a 2 n +1

，

an+2

an+1+ 1 an+1

=

an+1

an+ 1 an

，由此能够导出an+1=an+

1

an

．
（Ⅱ）由a₁=1，an+1=an+

1

an

，知0＜

1

a 2 n

≤1，当n≥2时，

a

2 n

=(an-1+

1

an-1

)2=

a

2 n-1

+

1

a 2 n-1

+2，上此入手能导出

2n-1

≤an≤

3n-2

．
（Ⅲ）

bn+1

bn

=

an+2 n

an+1 n+1

=(1+

1

a 2 n+1

)

n

n+1

＜(1+

1

2n+1

)

n

n+1

=

2(n+1) n

(2n+1) n+1

=

2 n(n+1)

(2n+1)

=

4n2+4n 4n2+4n+1

＜1，由此知b_n+1＜b_n．

解答：解：（Ⅰ）由于a₁=1，a₂=2，

an+2

an

=

a 2 n+1 +1

a 2 n +1

，易知对?n≥1，a_n≠0．
当n≥1时，

an+2

an

=

a 2 n+1 +1

a 2 n +1

可得

an+2an+1

a 2 n+1 +1

=

an+1an

a 2 n +1

，
从而

an+2

an+1+ 1 an+1

=

an+1

an+ 1 an

，
依此递推可得

an+1

an+ 1 an

=

an-1

an-2+ 1 an-2

═

a2

a1+ 1 a1

=

2

1+ 1 1

=1，
从而an+1=an+

1

an

，（n=1，2，3，）（4分）
（Ⅱ）显然，由a₁=1，an+1=an+

1

an

可知：?n≥1，a_n≥1成立，即0＜

1

a 2 n

≤1，
当n≥2时，

a

2 n

=(an-1+

1

an-1

)2=

a

2 n-1

+

1

a 2 n-1

+2，
故2＜a_n²-a_n-1²≤3，于是2＜a_n²-a_n-1²≤32＜a_n-1²-a_n-2²≤32＜a_n-2²-a_n-3²≤3
2＜a₃²-a₂²≤32＜a₂²-a₁²≤3
将经上各式相加得2（n-1）＜a_n²-a₁²≤3（n-1），
即得

2n-1

≤an≤

3n-2

；（亦可用数学归纳法）（9分）
（Ⅲ）

bn+1

bn

=

an+2 n

an+1 n+1

=(1+

1

a 2 n+1

)

n

n+1

＜(1+

1

2n+1

)

n

n+1

=

2(n+1) n

(2n+1) n+1

=

2 n(n+1)

(2n+1)

=

4n2+4n 4n2+4n+1

＜1，故b_n+1＜b_n．（13分）

点评：本题考查数列的性质和综合运用，解题时要认真审题，仔细解答．