Question

设定义域为r的函数f（x）=，若关于x的函数y=2f²（x）+2bf（x）+1有8个不同的零点，则实数b的取值范围是（ ）
A．-＜b
B．-＜b＜-
C．-2＜b＜-
D．-＜b或b

Answer 1

【答案】分析：先将函数进行换元，转化为一元二次函数问题．同时在结合函数f（x）的图象，确定b的取值范围．
解答：解：令t=f（x），则原函数等价为y=2t²+2bt+1．做出函数f（x）的图象如图：，
图象可知当由0＜t＜1时，函数t=f（x）有四个交点．
所以要使关于x的函数y=2f²（x）+2bf（x）+1有8个不同的零点，则函数y=2t²+2bt+1有两个根t₁，t₂，
且0＜t₁＜1，0＜t₂＜1．
令g（t）=2t²+2bt+1，则由根的分布可得，即，
解得，即，所以实数b的取值范围是．
故选B．
点评：本题考查复合函数零点的个数问题，以及二次函数根的分布，解决本题的关键是利用换元，将复合函数转化为我们熟悉的二次函数，换元是解决这类问题的关键．