Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长均为2，侧面BCC₁B₁⊥底面ABC，侧棱BB₁与底面ABC所成的角为60°．
（Ⅰ）求直线A₁C与底面ABC所成的角；
（Ⅱ）在线段A₁C₁上是否存在点P，使得平面B₁CP⊥平面ACC₁A₁？若存在，求出C₁P的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）过B₁作B₁O⊥BC于O，证明B₁O⊥平面ABC，以O为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，求出A，B，C，A₁，B₁，C₁坐标，底面ABC的法向量

n

=(0， 0， 1)，设直线A₁C与底面ABC所成的角为θ，通过sinθ=|

CA1 • n

| CA1 |•| n |

|=

2

2

，求出直线A₁C与底面ABC所成的角．
（Ⅱ）假设在线段A₁C₁上存在点P，设

C1P

=λ

C1A1

，通过

m • B1C =0 m • CP =0

求出平面B₁CP的法向量

m

=(x，y，z)，利用

n • AC =0 n • C1C =0

求出平面ACC₁A₁的法向量

n

=(x，y，z)，通过

m

•

n

=0，求出．λ=

2

3

．求解C1P=

4

3

．

解答：（本题满分14分）
解：（Ⅰ）过B₁作B₁O⊥BC于O，
∵侧面BCC₁B₁⊥平面ABC，
∴B₁O⊥平面ABC，
∴∠B₁BC=60°．
又∵BCC₁B₁是菱形，∴O为BC的中点．…（2分）
以O为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，
则A(-

3

，0，0)，B（0，-1，0），C（0，1，0），A1(-

3

，1，

3

)，B1(0，0，

3

)，C1(0，2，

3

)
∴

CA1

=(-

3

，0，

3

)，又底面ABC的法向量

n

=(0， 0， 1)…（4分）
设直线A₁C与底面ABC所成的角为θ，
则sinθ=|

CA1 • n

| CA1 |•| n |

|=

2

2

，∴θ=45°
所以，直线A₁C与底面ABC所成的角为45°．                     …（7分）
（Ⅱ）假设在线段A₁C₁上存在点P，设

C1P

=λ

C1A1

，
则

C1P

=λ(-

3

，-1，0)，

CP

=

CC1

+

C1P

=(-

3

λ，1-λ，

3

)，

B1C

=(0，1，-

3

)．…（8分）
设平面B₁CP的法向量

m

=(x，y，z)，
则

m • B1C =y- 3 z=0 m • CP =- 3 λx+(1-λ)y+ 3 z=0

．
令z=1，则y=

3

，x=

2-λ

λ

，∴

m

=(

2-λ

λ

，

3

，1)．         …（10分）
设平面ACC₁A₁的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • AC = 3 x+y=0 n • C1C =-y- 3 z=0

令z=1，则y=-

3

，x=1，∴

n

=(1，-

3

，1)．           …（12分）
要使平面B₁CP⊥平面ACC₁A₁，
则

m

•

n

=(

2-λ

λ

，

3

，1)•(1，-

3

，1)=

2-λ

λ

-2=0．
∴λ=

2

3

．∴C1P=

4

3

．                             …（14分）

点评：本题考查直线与平面垂直，直线与平面所成的角，平面与平面垂直，考查空间想象能力，计算能力．