Question

选修4-4：坐标系与参数方程：
已知直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为(2，

π

3

)，直线l经过点P，倾斜角为α．
（1）写出点P的直角坐标及直线l的参数方程；
（2）设l与圆ρ=3相交于A、B两点，求弦AB长度的最小值．

Answer 1

分析：（1）点P（2，

π

3

）的直角坐标为P（1，

3

），由l的倾斜角为α，能求出l的参数方程．
（2）圆ρ=3的直角坐标方程为x²+y²=9，由A、B在直线l上，A、B对应的参数分别为t₁，t₂，将l的参数方程代入x²+y²=9，得t2+(2cosα+2

3

sinα)t-5=0，由此能求出|AB|的最小值．

解答：解：（1）点P（2，

π

3

）的直角坐标为P（1，

3

），
由l的倾斜角为α，则l的参数方程为：

x=1+tcosα y= 3 +tsinα

，（t为参数）．
（2）圆ρ=3的直角坐标方程为x²+y²=9，
∵A、B在直线l上，A、B对应的参数分别为t₁，t₂，
将l的参数方程代入x²+y²=9，
得（1+tcosα）²+（

3

+tsinα）²=9，
化简，得t2+(2cosα+2

3

sinα)t-5=0，
t1+t2=-(2cosα+2

3

sinα)，
t₁•t₂=-5，
|AB|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

(2cosα+2 3 sinα)2-4×(-5)

=

24+sin2α+8 3 sinαcosα

=

28+4 3 sin2α-4cos2α

=

28+8sin(2α- π 6 )

，
当sin（2α-

π

6

）=-1，即α=

5π

6

时，|AB|的最小值是2

5

．

点评：本题考查参数方程和普通方程的互化，考查两点间距离公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数知识的灵活运用．