Question

已知顶点为原点的抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，与在第一和第四象限的交点分别为.
（1）若△AOB是边长为的正三角形，求抛物线的方程；
（2）若，求椭圆的离心率；
（3）点为椭圆上的任一点，若直线、分别与轴交于点和，证明：．

Answer 1

（1）；（2）；（3）证明过程详见试题解析.

解析试题分析：（1）由△AOB是边长为的正三角形得到,代入抛物线方程中，可以得到所求抛物线方程为；（2）由可知点的横坐标是，因此可结合建立关于的方程为：，解出；（3）利用设而不求的思想，可先设三点后代入椭圆方程中，由于的方程为，求出，，那么化简后得到：.
试题解析：（1）设椭圆的右焦点为，依题意得抛物线的方程为 
∵△是边长为的正三角形，
∴点A的坐标是，
代入抛物线的方程解得，
故所求抛物线的方程为
（2）∵, ∴ 点的横坐标是
代入椭圆方程解得，即点的坐标是 
∵ 点在抛物线上，
∴， 
将代入上式整理得：，
即，解得   
∵ ，故所求椭圆的离心率.
（3）证明：设，代入椭圆方程得

而直线的方程为 
令得.
在中，以代换得 
∴  .
考点：圆锥曲线；直线与圆锥曲线的位置关系.