Question

给出方程：(

1

2

)x+xlnx-1=0，下列命题如下：
①该方程有小于零的实数解；
②该方程有无数个实数解；
③方程有且只有一个实数解；
④有x₀为方程的实数解，则x₀＞-1；
则正确的命题是

 

．

Answer 1

分析：在同一坐标系中画出函数y=(

1

2

)x与y=1-xlnx的图象，分析图象交点的个数及交点横坐标的值，进而根据方程根与对应函数图象交点的关系，进而判断出四个结论的真假，可得答案．

解答：解：若x＜0，则(

1

2

)x+xlnx-1=0无意义，
故该方程无小于零的实数解，故①错误；
若(

1

2

)x+xlnx-1=0，则(

1

2

)x=1-xlnx
令y=1-xlnx，则y′=-1-lnx，令y′=0，则x=

1

e

当x∈（0，

1

e

）时，y′＞0，此时y=1-xlnx为增函数，
当x∈（

1

e

，+∞）时，y′＜0，此时y=1-xlnx为减函数，
∴函数y=(

1

2

)x与y=1-xlnx的图象如下图所示：

由图可知：函数y=(

1

2

)x与y=1-xlnx的图象有两个交点，交点横坐标均大于-1
故②③错误，④正确；
故答案为：④

点评：本题以命题的真假判断为载体考查了函数的零点与方程的根，熟练掌握图象法求函数零点的方法和步骤是解答的关键．