Question

（2007•揭阳二模）如图（1）示，定义在D上的函数f（x），如果满足：对?x∈D，?常数A，都有f（x）≥A成立，则称函数f（x）在D上有下界，其中A称为函数的下界．（提示：图（1）、（2）中的常数A、B可以是正数，也可以是负数或零）

（Ⅰ）试判断函数f（x）=x³+

48

x

在（0，+∞）上是否有下界？并说明理由；
（Ⅱ）又如具有如图（2）特征的函数称为在D上有上界．请你类比函数有下界的定义，给出函数f（x）在D上有上界的定义，并判断（Ⅰ）中的函数在（-∞，0）上是否有上界？并说明理由；
（Ⅲ）已知某质点的运动方程为S（t）=at-2

t+1

，要使在t∈[0，+∞）上的每一时刻该质点的瞬时速度是以A=

1

2

为下界的函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）解法1：利用导数确定函数的最小值，即可得出结论；
解法2：利用基本不等式求最值，即可得出结论；
（II）类比函数有下界的定义，看过函数有上界的定义，并可判断（Ⅰ）中的函数在（-∞，0）上有上界；
（III）求导函数，依题意得对?t∈[0，+∞）有a-

1

t+1

≥

1

2

，分离参数求最值，即可得出结论．

解答：解：（Ⅰ）
解法1：∵f′(x)=3x2-

48

x2

，由f'（x）=0得3x2-

48

x2

=0，x⁴=16，∵x∈（0，+∞），
∴x=2，-------------------------------（2分）
∵当0＜x＜2时，f'（x）＜0，∴函数f（x）在（0，2）上是减函数；
当x＞2时，f'（x）＞0，∴函数f（x）在（2，+∞）上是增函数；
∴x=2是函数的在区间（0，+∞）上的最小值点，f(x)min=f(2)=8+

48

2

=32
∴对?x∈（0，+∞），都有f（x）≥32，-----------------------------------（4分）
即在区间（0，+∞）上存在常数A=32，使得对?x∈（0，+∞）都有f（x）≥A成立，
∴函数f(x)=x3+

48

x

在（0，+∞）上有下界．---------------------------（5分）
解法2：∵x＞0∴f(x)=x3+

48

x

=x3+

16

x

+

16

x

+

16

x

≥4

4	x3• 16 x • 16 x • 16 x

=32
当且仅当x3=

16

x

即x=2时“=”成立
∴对?x∈（0，+∞），都有f（x）≥32，
即在区间（0，+∞）上存在常数A=32，使得对?x∈（0，+∞）都有f（x）≥A成立，
∴函数f(x)=x3+

48

x

在（0，+∞）上有下界．]
（Ⅱ）类比函数有下界的定义，函数有上界可以这样定义：
定义在D上的函数f（x），如果满足：对?x∈D，?常数B，都有f（x）≤B成立，则称函数f（x）在D上有上界，其中B称为函数的上界．---------------------------（8分）
设x＜0，则-x＞0，由（Ⅰ）知，对?x∈（0，+∞），都有f（x）≥32，
∴f（-x）≥32，∵函数f(x)=x3+

48

x

为奇函数，∴f（-x）=-f（x）
∴-f（x）≥32，∴f（x）≤-32------------------------------------------（9分）
即存在常数B=-32，对?x∈（-∞，0），都有f（x）≤B，
∴函数f(x)=x3+

48

x

在（-∞，0）上有上界．---------------------------（10分）
（Ⅲ）质点在t∈[0，+∞）上的每一时刻的瞬时速度v=S′(t)=a-

1

t+1

----------------（11分）
依题意得对?t∈[0，+∞）有a-

1

t+1

≥

1

2

∴a≥

1

t+1

+

1

2

对?t∈[0，+∞）恒成立
令g(t)=

1

t+1

+

1

2

，
∵函数g（t）在[0，+∞）上为减函数．
∴g(t)max=g(0)=1+

1

2

=

3

2

∴a≥

3

2

．------------------------------------------------（14分）

点评：本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，考查导数知识的运用，考查函数的最值，属于中档题．