Question

如图，已知椭圆C过点M（2，1），两个焦点分别为，O为坐标原点，平行于OM的直线l交椭圆C于不同的两点A、B，
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）试问直线MA、MB的斜率之和是否为定值，若为定值，求出以线段AB为直径且过点M的圆的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题设知半焦距，长半轴长，短半轴长，由此能得到椭圆C的方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），，由知x²+2mx+2m²-4=0，得x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-4．由此入手能够求出圆的方程．
解答：解：（Ⅰ）由题设知：半焦距，
长半轴长，
短半轴长，于是椭圆C的方程是：；
（Ⅱ）设直线l的方程为，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由知x²+2mx+2m²-4=0，得x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-4；
∴为定值；
由线段AB为直径且过点M的圆知：MA⊥MB有k_MA•k_MB=-1，得k_MA=1，k_MB=-1；
∴，又x₁+x₂=-2m；得；
∴，圆的方程为：
即：．
点评：本题考查椭圆方程的求法和圆与直线位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．