Question

已知曲线C的方程为：kx²＋(4－k)y²＝k＋1(k∈R)

(Ⅰ)若曲线C是椭圆，求k的取值范围；

(Ⅱ)若曲线C是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是，求此双曲线的方程；

(Ⅲ)(理)满足(Ⅱ)的双曲线上是否存在两点P，Q关于直线l：y＝x－1对称，若存在，求出过P，Q的直线方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)当k＝0或k＝－1或k＝4时，C表示直线； 　　当k≠0且k≠－1且k≠4时方程为 　　＋＝1　　(1) 　　方程(1)表示椭圆的充要条件是 　　即是0＜k＜2或2＜k＜4 　　(Ⅱ)方程(1)表示双曲线的充要条件是＜0 　　即k＜－1或－1＜k＜0或k＞4 　　(i)当k＜－1或k＞4时，双曲线焦点在x轴上， 　　a2＝，b2＝， 　　其一条渐近线的斜率为＝＝得k＝6 　　(ii)当－1＜k＜0时，双曲线焦点在y轴上，a2＝，b2＝－， 　　其一条渐近线的斜率为＝＝，得k＝6(舍) 　　综上得双曲线方程为－＝1 　　(Ⅲ)(理)若存在，设直线PQ的方程为：y＝－x＋m 　　消去y，得4x2＋4mx－2m2－7＝0　　(2) 　　设P，Q的中点是M(x0，y0)，则，M在直线l上， 　　∴＝－－1，　　解得m＝－，方程(2)的Δ＞0， 　　∴存在满足条件的P、Q，直线PQ的方程为y＝－x－