Question

设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＞b＞c），已知f（1）=0，且存在实数m，使f（m）=-a．
（1）试推断函数f（x）在区间[0，+∞]上的单调性；
（2）设x₁、x₂是f（x）+bx=0的不等实根，求|x₁-x₂|的取值范围；
（3）比较f（m+3）与0的大小．

Answer 1

分析：（1）由f（1）=0以及由f（m）=-a可得 b（b+4a）≥0，再由a＞b＞c，可得a＞0，c＜0，b≥0，故函数f（x） 的对称轴为x=-

b

2a

≤0，故f（x） 在（0，+∞）上是增函数．
（2）利用根与系数的关系求出x₁+x₂ 和 x₁•x₂ 的值，计算|x₁-x₂|=

4( c a + 1 2 )2+3

，求出-2＜

c

a

≤-1，进而求出|x₁-x₂|的范围．
（3）由f（1）=0 及f（m）=-a，推出m+3＞1，可得f（x）在[0，+∞）上是增函数，从而得到f（m+3）＞f（1）=0．

解答：解：（1）由f（1）=0可得a+b+c=0，a+c=-b ①，
由f（m）=-a可得 ax²+bx+c+a=0 有实数根，故判别式△=b²-4a（c+a）≥0 ②．
由①②可得 b²+4ab=b（b+4a）≥0，
∵a＞b＞c，∴a＞0，c＜0，∴b+4a=-（a+c）+4a=3a-c＞0，∴b≥0．
∴二次函数f（x） 的对称轴为x=-

b

2a

≤0，故f（x） 在（0，+∞）上是增函数．
（2）由于x₁、x₂是f（x）+bx=0的不等实根，故x₁+x₂=-

2b

a

，x₁•x₂=

c

a

，
∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

(- 2b a )2- 4ac a2

=

4( c a + 1 2 )2+3

．
由a＞b=-（a+c） 可得 2a＞-c，∴

c

a

＞-2．
又a+c=-b≤0，可得

c

a

≤-1．
综上可得-2＜

c

a

≤-1，-

3

2

＜

c

a

+

1

2

≤-

1

2

，故

1

4

≤(

c

a

+

1

2

)2＜

9

4

，
∴2≤|x₁-x₂|＜2

3

，故|x₁-x₂|的取值范围是[2，2

3

）．
（3）∵f（1）=0，故可设f（x）=a（x-1）（x-

c

a

）．
∵f（m）=-a，∴a（m-1）（m-

c

a

）=-a，（m-1）（m-

c

a

）=-1＜0．
∵

c

a

＜0，∴

c

a

＜m＜1，∴m＞-2，m+3＞1，故f（x）在[0，+∞）上是增函数，
故有 f（m+3）＞f（1）=0．

点评：本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，二次函数的性质的应用，不等式的基本性质的应用，属于中档题．