Question

【题目】已知椭圆，倾斜角为的直线与椭圆相交于两点，且线段的中点为．过椭圆内一点的两条直线分别与椭圆交于点，且满足，其中为实数．当直线平行于轴时，对应的．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）当变化时，是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ） .

【解析】

（Ⅰ）将M和N点坐标代入椭圆方程，根据斜率公式求得kMN=1，求得a和b的关系，当直线AP平行于x轴时，设|AC|=2d，求得A点坐标，代入椭圆方程，即可求得a和b，求得椭圆方程；

（Ⅱ）设出A、B、C和D点坐标，由向量共线，=λ，=λ，及A和B在椭圆上，利用斜率公式，kAB=kCD，求得3（1+λ）kAB=﹣2（1+λ），即可求得kAB为定值．

（Ⅰ）设M（m1，n1）、N（m2，n2），则，

两式相减，

故a2=3b2

当直线AP平行于x轴时，设|AC|=2d，

∵，，则，解得，

故点A（或C）的坐标为．

代入椭圆方程，得

a2=3，b2=1，

所以方程为.

（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4）

由于，可得A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4），

…①

同理可得…②

由①②得：…③

将点A、B的坐标代入椭圆方程得，

两式相减得（x1+x2）（x1﹣x2）+3（y1+y2）（y1﹣y2）=0，

于是3（y1+y2）kAB=﹣（x1+x2）…④

同理可得：3（y3+y4）kCD=﹣（x3+x4），

于是3（y3+y4）kAB=﹣（x3+x4）（∵AB∥CD，∴kAB=kCD）

所以3λ（y3+y4）kAB=﹣λ（x3+x4）…⑤

由④⑤两式相加得到：3[y1+y2+λ（y3+y4）]kAB=﹣[（x1+x2）+λ（x3+x4）]

把③代入上式得3（1+λ）kAB=﹣2（1+λ），

解得：，

当λ变化时，kAB为定值，．