Question

 (本小题满分12分，(Ⅰ)小问6分，(Ⅱ)小问6分.如图，在四面体中，平面⊥平面，⊥，==2，==1.

(Ⅰ)求四面体的体积;

(Ⅱ)求二面角的平面角的正切值.

 

 

 

Answer 1

【答案】

 【命题意图】本题考查简单几何体的体积计算、二面角的求法，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及转化与化归思想，是中档题.

【解析】(Ⅰ) 如图，过作⊥于，∵平面⊥平面，

∴⊥平面，则是四面体的面上的高，

设中点为，∵==2，∴⊥，

∴===,

∵=,  ∴==,

在中，==,∴==,

∴四棱锥的体积==.

(Ⅱ)（几何法）过作⊥与，连结，由(Ⅰ)知⊥面，

由三垂线定理知⊥，∴为二面角的平面角，

在中，===,

在中，∥，  ∴,  ∴==,

在中，==.