Question

已知点P是半径为1的圆外一点，过P作圆的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则

PA

•

PB

的最小值为

-3+2

2

．

Answer 1

分析：作出如图所示的示意图，设PA=PB=x，∠APO=α，从而化简得出cos∠APB=cos2α=

x2-1

1+x2

，由此算出

PA

•

PB

=

x4-x2

1+x2

=（1+x²）+

2

1+x2

-3，再利用基本不等式求最值，可得当x=

2 -1

时，

PA

•

PB

有最小值为-3+2

2

．

解答：解：作出示意图，如右图所示．
设PA=PB=x，∠APO=α，由圆的切线的性质，可得∠APB=2α，
∵OA⊥PA，OA=1，∴PO=

OA2+PA2

=

1+x2

，
由三角函数的定义，得sinα=

AO

PO

=

1

1+x2

．
∴cos∠APB=cos2α=1-2sin²α=1-2•

1

1+x2

=

x2-1

1+x2

，
因此，

PA

•

PB

=

|PA|

•

|PB|

cos2α=x²•

x2-1

1+x2

，
∴

PA

•

PB

=

x4-x2

1+x2

=（1+x²）+

2

1+x2

-3，
∵（1+x²）+

2

1+x2

≥2

(1+x2)• 2 1+x2

=2

2

，
∴

PA

•

PB

≥-3+2

2

，
当且仅当1+x²=

2

时，即x=

2 -1

时，

PA

•

PB

有最小值为-3+2

2

．
故答案为：-3+2

2

点评：本题着重考查了圆的切线的性质、直角三角形中三角函数的定义、二倍角的余弦公式、向量的数量积公式和利用基本不等式求最值等知识，属于中档题．