Question

已知y=f（x）是R上的偶函数，对于x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，且f（-4）=-2，当x₁，x₂∈[0，3]，x₁≠x₂时，都有．则给出下列命题：
①f（2008）=-2；
②函数y=f（x）图象的一条对称轴为x=-6；
③函数y=f（x）在[-9，-6]上为减函数；
④方程f（x）=0在[-9，9]上有4个根．
其中正确的命题序号是    ．

Answer 1

【答案】分析：①根据题意可判断出f（x）是以6为周期的函数，从而得到f（2008）=-2；利用函数y=f（x）是偶函数与周期为6的周期函数可判断②正确；利用函数的奇偶性与单调性、周期性可作出[-9，9]上的图象，根据图象可判断③④的正误．
解答：解：∵对于x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，且f（-4）=-2，
∴f（-3+6）=f（-3）+f（3），
∴f（3）=0；
∴f（x+6）=f（x）+f（3）=f（x），
∴f（x）是以6为周期的函数，
∴f（2008）=f（334×6+4）=f（4）=-2，故①正确；
由f（x+6）=f（x）=f（-x）得：
f（12-x）=f[6+（6-x）]=f（6-x）=f（-x）=f（x），
∴x=6是函数y=f（x）图象的一条对称轴，从而x=-6是函数y=f（x）图象的一条对称轴，故②正确；
又当x₁，x₂∈[0，3]，x₁≠x₂时，都有，
∴f（x）为[0，3]上的增函数，又y=f（x）是R上的偶函数，
∴f（x）为[-3，0]上的减函数，其图象关于原点对称．
作出函数y=f（x）的图象如图：
由图象可得③函数y=f（x）在[-9，-6]上为减函数，正确；
④方程f（x）=0在[-9，9]上有4个根是正确的．
故答案为：①②③④
点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数的奇偶性、单调性及周期性的综合应用，体现数形结合思想的巨大作用，属于难题．