Question

如果以抛物线y²=4x过焦点的弦为直径的圆截y轴所得的弦长为4，那么该圆的方程是

 

．

Answer 1

分析：设直线与抛物线的交点坐标（x₁，y₁），（x₂，y₂），由抛物线定义可得半径r与圆心（x₀，y₀）的关系，再由圆截y轴弦长和勾股定理得r与圆心（x₀，y₀）的关系，从而解得r和x₀．再设过焦点的直线方程为x=ay+1，联立抛物线方程，分别消去x，y得到x₀、y₀和a的关系，从而求出结果．

解答：解：设过焦点的直线与抛物线交点A、B坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），圆心C即AB的中点（x₀，y₀），
由抛物线定义得，|AB|=x₁+x₂+p=x₁+x₂+2=2x₀+2，∴r=x₀+1，
∵圆截y轴所得的弦长为4
∴由勾股定理得，r²=4+x₀²，即

r=x0+1 r2=4+x02

解得x0=

3

2

，
∴r=

5

2

，
设过焦点的直线方程为x=ay+1，则

x=ay+1 y2=4x

，
消去x得y²-4ay-4=0，∴y₁+y₂=4a，即y₀=2a
消去y得x²-（2+4a²）x+1=0，∴x₁+x₂=2+4a²，即x0=1+2a2=

3

2

，解得a=±

1

2

，
∴y₀=2a=±1，所以该圆的方程是（x-

3

2

）²+（y±1）²=

25

4

，
故答案是（x-

3

2

）²+（y±1）²=

25

4

．

点评：此题考查抛物线的焦点弦公式AB|=x₁+x₂+p，以及直线与抛物线之间的关系，这也是新课改中新考纲中的要求．