Question

已知不垂直于x轴的动直线l交抛物线y²=2mx（m＞0）于A、B两点，若A、B两点满足∠AQP=∠BQP，其中Q（-4，0），原点O为PQ的中点．
①求证：A、P、B三点共线；
②当m=2时，是否存在垂直于x轴的直线l′，使得l′被以AP为直径的圆所截得的弦长为定值，如果存在，求出l′的方程，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：①先根据∵∠AQP=∠BQP且显然是锐角得到tan∠AQP=tan∠BQP．即K_AQ=-k_BQ，从而得到点A，B之间的关系，再求出直线AP与PB的斜率即可证明结论；
②设出直线方程以及点A的坐标和以AP为直径的圆心C圆心坐标；再求出对应弦长，即可求出结论．

解答：解：①证明：由题意可设A（

y12

2m

，y₁）：B（

y22

2m

，y₂），P（4，0）．
∵∠AQP=∠BQP且显然是锐角
∴tan∠AQP=tan∠BQP．即K_AQ=-k_BQ，
即

y1

y12 2m +4

=-

y2

y22 2m +4

?y₁y₂（y₁+y₂）=-8m（y₁+y₂）．
∵L不垂直于x轴，
∴y₁+y₂≠0，y₁y₂=-8m．
∴k_AP=

y1

y12 2m -4

=

2my1

y12-8m

=

-2m• 8m y2

64m2 y22 -8m

=

2my2

y22-8m

，
∵k_BP=

y2

y22 2m -4

=

2my2

y22-8m

=k_AP
∴A，P，B三点共线．
②假设满足题意l^′的存在，设l^′：x=n，A（x₁，y₁），则y₁²=4x₁，
∴以AP为直径的圆心C（

x1+4

2

，

y1

2

），
则l^′被圆C截得的弦长=2

1 4 [(x1-4)2+y12] -( x1+4 2 -n)2

=2

(n-3)x1+4n-n2

．
当n=3时，弦长为定值2

3

．
故存在满足题意的直线l^′：x=3．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等   突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高