Question

已知数列{a_n}，定义其倒均数是．
（1）若数列{a_n}倒均数是；
（2）若等比数列{b_n}的公比q=2，其倒均数为V_n，问是否存在正整数m，使得当n≥m（n∈N^*）时，nV_n＜恒成立，若存在，求出m的最小值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用数列{a_n}倒均数是，可得=，再写一式，两式相减可得数列的通项；
（2）求出等比数列{b_n}的倒均数为，不等式nV_n＜，即＜，再分类讨论，即可得到结论．
解答：解：（1）∵数列{a_n}倒均数是
∴=
∴=
当n≥2时，=
两式相减可得=
∴a_n=（n≥2）
∵n=1时，，∴a₁=也满足上式
∴a_n=；
（2）∵等比数列{b_n}的公比q=2，∴{}是公比为的等比数列，
∴等比数列{b_n}的倒均数为
不等式nV_n＜，即＜
若b₁＜0，则不等式为，∴n＞4，因此此时存在正整数m，使得当n≥m（n∈N^*）时，nV_n＜恒成立，且m的最小值为4；
若b₁＞0，则不等式为，∴n＜4，因此此时不存在正整数m，使得当n≥m（n∈N^*）时，nV_n＜恒成立．
点评：本题考查新定义，考查数列的通项，考查数列中存在性问题，考查分类讨论的数学思想，正确理解新定义是关键．