Question

某种产品每件成本为6元，每件售价为x元(6<x<11)，年销售为u万件，若已知－u与成正比，且售价为10元时，年销量为28万件．

（Ⅰ）求年销售利润y关于售价x的函数关系式；

（Ⅱ）求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．

Answer 1

解：（Ⅰ）设－u＝k，      1分

∵售价为10元时，年销量为28万件，∴－28＝k，解得k＝2.      3分

∴u＝－2＋＝－2x2＋21x＋18.     4分

∴y＝(－2x2＋21x＋18)(x－6)＝－2x3＋33x2－108x－108(6<x<11)．     6分

（Ⅱ）y′＝－6x2＋66x－108＝－6(x2－11x＋18)＝－6(x－2)(x－9)．   7分

令y′＝0，得x＝2(舍去)或x＝9，  8分

当x∈(6,9)时，y′>0；当x∈(9,11)时，y′<0.     9分

∴函数y＝－2x3＋33x2－108x－108在(6,9)上是递增的，在(9,11)上是递减的．   10分

∴当x＝9时，y取最大值，且ymax＝135，  11分

∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元．   12分