Question

已知函数的导数为实数，.（Ⅰ）若在区间上的最小值、最大值分别为、1，求、的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）

的条件下，求经过点且与曲线相切的直线的方程；

（Ⅲ）设函数，试判断函数的极值点个数．

Answer 1

（本小题满分15分）

       已知函数的导数为实数，.

（Ⅰ）若在区间上的最小值、最大值分别为、1，求、的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求经过点且与曲线相切的直线的方程；

（Ⅲ）设函数，试判断函数的极值点个数．

答案：解（Ⅰ）由已知得，

 由，得，．∵，，

∴ 当时，，递增；

当时，，递减．

∴ 在区间上的最大值为，∴．……………………………2分

又，，∴ ．

，即，得．

故，为所求．                          ………………………………4分

（Ⅱ）解：由（1）得，，点在曲线上．

⑴ 当切点为时，切线的斜率，

∴ 的方程为，即．  ………………………………5分

⑵当切点不是切点时，设切点为，切线的斜率，

∴ 的方程为 ．

又点在上，∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，即，∴． ∴ 切线的方程为．…8分

故所求切线的方程为或．       ………………………………9分

（ 或者：由（1）知点A（0，1）为极大值点，所以曲线的点A处的切线为，恰好经过点，符合题意．）

（Ⅲ）解： ．

∴

．       ………………………………11分

二次函数的判别式为

，

令，得：

令，得     ………………………………13分

∵，，

∴当时，，函数为单调递增，极值点个数为0；…14分

当时，此时方程有两个不相等的实数根，根据极值点的定义，可知函数有两个极值点．                  ………………………………16分