Question

已知数列{a_n}（n∈N^*）的前n项的S_n=n²．
（Ⅰ）求数列{a_n}，的通项公式；
（Ⅱ）若bn=

2

(2n+1)an

，记数列{b_n}，的前n项和为T_n，求使Tn＞

9

10

成立的最小正整数n的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当n≥2时根据a_n=S_n-S_n-1求通项公式，a₁=S₁=1符合上式，从而求出通项公式．，
（II）由（I）求得的a_n求出b_n，利用裂项求和方法求出数列{b_n}的前n项和为T_n，解不等式求得最小的正整数n．

解答：解：（Ⅰ）∵S_n=n²
当n≥2时，S_n-1=（n-1）²
∴相减得：a_n=S_n-S_n-1=2n-1
又a₁=S₁=1符合上式
∴数列{a_n}，的通项公式a_n=2n-1
（II）由（I）知bn=

2

(2n-1)(2n+1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

∴T_n=b₁+b₂+b₃++b_n
=(

1

1

-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)++(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=1-

1

2n+1

=

2n

2n+1

又∵Tn＞

9

10

∴

2n

(2n+1)

＞

9

10

∴20n＞18n+9，即n＞

9

2

，又n∈N*
∴使Tn＞

9

10

成立的最小正整数n的值为5

点评：本题主要考查等差数列的概念及有关计算，数列求和的方法，简单分式不等式的解法，化归转化思想是常用的数学思想；根据a_n=S_n-S_n-1求通项公式，但要注意n=1的情况，属中档题．