Question

如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=。AD=2，BC=4，AA₁=2，E是DD₁的中点，F是平面B₁C₁E与直线AA₁的交点。

（1）证明：（i）EF∥A₁D₁；
（ii）BA₁⊥平面B₁C₁EF；
（2）求BC₁与平面B₁C₁EF所成的角的正弦值。

Answer 1

解：（1）（i）因为， 平面ADD₁A₁，
所以平面ADD₁A₁，
又因为平面平面ADD₁A₁=，
所以
所以。
（ii）∵，
所以，
又因为，
所以，
在矩形中，F是AA₁的中点，即
即，
故
所以平面。
（2） 设与交点为H，连结
由（1）知B₁C₁∥EF，所以是与平面所成的角
在矩形中，，，得，
在直角中，，，
得，所以BC与平面所成角的正弦值是。