Question

如图，AB、CD都平行于平面α，AB=5，CD=3，AC，BD与α分别交于M，N两点，M为的AC中点，则MN长的取值范围是

（0，4]

．

Answer 1

分析：连接AD，取AD中点P，再连接NP、MP、MN，可以证出P、N分别为AD、BD的中点，利用三角形中位线定理得MP=

1

2

CD=

3

2

，PN=

1

2

AB=

5

2

，在三角形MNP中利用两边之和大于第三边，得则MN长的取值范围是（0，4]，问题得到解答．

解答：解：连接AD，取AD中点P，再连接NP、MP、MN，
∵CD∥平面α，CD?平面ACD，平面ACD∩平面α=MP
∴MP是△ACD的中位线
同理PN是△ABD的是位线
所以MP=

1

2

CD=

3

2

，PN=

1

2

AB=

5

2

，
在三角形MNP中，MN＜MP+NP=4
当P、M、N共线时，MN=MP+NP=4
所以0＜MN≤4
故答案为（0，4]

点评：本题以三角形的中位线为基础，考查了空间点、线、面的距离有关的问题，属于中档题．灵活运用三角形中位线定理和三角形两边之和大于第三边，是解决本题的关键．