题目内容

$数学公式$ ．
（1）写出a₂，a₃，a₄的值，并猜想数列{a_n}的通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的结论．

（1）解：∵a₁=1，∴ $\text{[math]}$ ，
猜想 $\text{[math]}$ …（4分）
（2）证明：①n=1时，猜想正确． …（5分）
②假设n=k时猜想正确，即 $\text{[math]}$ ，…（6分）
则 $\text{[math]}$
这说明，n=k+1时猜想正确． …（11分）
由①②知， $\text{[math]}$ …（12分）
分析：（1）根据所给函数及递推关系式，进行计算，从而可猜想数列{a_n}的通项公式；
（2）利用数学归纳法的证明步骤，进行证明，注意利用归纳假设．
点评：本题考查归纳猜想，考查数学归纳法证明等式，解题的关键是先猜后证．

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设函数f（x）=log_a（x-3a）（a＞0，且a≠1），当点P（x，y）是函数y=f（x）图象上的点时，点Q（x-2a，-y）是函数y=g（x）图象上的点．
（1）写出函数y=g（x）的解析式；
（2）若当x∈[a+2，a+3]时，恒有|f（x）-g（x）|≤1，试确定a的取值范围；
（3）把y=g（x）的图象向左平移a个单位得到y=h（x）的图象，函数F（x）=2a^1-h（x）-a^2-2h（x）+a^-h（x），（a＞0，且a≠1）在[

，4]的最大值为

，求a的值．

设a＞0，f(x)=

令a1=1，an+1=f(an)，n∈N*．
（1）写出a₂，a₃，a₄的值，并猜想数列{a_n}的通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的结论．

（1）写出下列函数的单调区间：①y=-x²+2|x|+1；②y=|-x²+2x+3|
（2）函数f(x)=

(a2-1)eax，x＜0

在R上单调，则a的取值范围是

古代印度婆罗门教寺庙内的僧侣们曾经玩过一种被称为“河内宝塔问题”的游戏，其玩法如下：如图，设有n（n∈N^*）个圆盘依其半径大小，大的在下，小的在上套在A柱上，现要将套在A柱上的盘换到C柱上，要求每次只能搬动一个，而且任何时候不允许将大盘套在小盘上面，假定有三根柱子A，B，C可供使用．

现用a_n表示将n个圆盘全部从A柱上移到C柱上所至少需要移动的次数，回答下列问题：
（1）写出a₁，a₂，a₃，并求出a_n；
（2）记b_n=a_n+1，求和Sn=

bibj(i，j∈N*)；（其中

bibj表示所有的积b_ib_j（1≤i≤j≤n）的和）
（3）证明：

某国采用养老储备金制度．公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d＞0），因此，历年所交纳的储备金数目a₁，a₂，…是一个公差为d的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定年利率为r（r＞0），那么，在第n年末，第l年所交纳的储备金就变为a1(1+r)n-1，第2年所交纳的储备金就变为a2(1+r)n-2…以T_n表示到第n年末所累计的储备金总额．
（1）写出T_n与T_n-1（n≥2）的递推关系式；
（2）求证：T_n=A_n+B_n，其中{A_n}是一个等比数列，{B_n}是一个等差数列．