Question

（1）写出下列函数的单调区间：①y=-x²+2|x|+1；②y=|-x²+2x+3|
（2）函数f(x)=

ax2+1，x≥0 (a2-1)eax，x＜0

在R上单调，则a的取值范围是

（-∞，-

2

]∪（1，

2

]

．

Answer 1

分析：（1）由题意去掉绝对值可化函数为分段函数，分别求其单调区间可得；
（2）分类讨论：函数在R上单调递减，可得

a＜0 a2-1＞0 (a2-1)e0≥1

，函数在R上单调递增，可得

a＞0 a2-1＞0 (a2-1)e0≤1

，解不等式可得a的范围．

解答：解：（1）①当x≥0时，y=-x²+2|x|+1=y=-x²+2x+1=-（x-1）²+2，
此时函数在[0，1]单调递增，在[1，+∞）是上单调递减．
当x＜0时，y=-x²+2|x|+1=y=-x²-2x+1=-（x+1）²+2，
此时函数在[-1，0）单调递减，在（-∞，-1）是上单调递增．
∴函数的增区间为[0，1]和（-∞，-1），函数的减区间为[-1，0）和[1，+∞）．
②原函数可化为：y=|-x²+2x+3|=|x²-2x-3|，
当x²-2x-3≥0，即x≥3或x≤-1，y=|x²-2x-3|=x²-2x-3，
此时可得函数在[3，+∞）单调递增，在（-∞，-1]单调递减，
当x²-2x-3＜0，即-1＜x＜1，y=|x²-2x-3|=-x²+2x+3，
此时可得函数在（-1，1]单调递增，在[1，3）单调递减，
∴函数的增区间为[3，+∞）和（-1，1]，函数的减区间为（-∞，-1]和[1，3）
（2）若函数在R上单调递减，则

a＜0 a2-1＞0 (a2-1)e0≥1

，解得a≤-

2

，
若函数在R上单调递增，则

a＞0 a2-1＞0 (a2-1)e0≤1

，解得1＜a≤

2

，
∴a的取值范围是（-∞，-

2

]∪（1，

2

]
故答案为：（-∞，-

2

]∪（1，

2

]

点评：本题考查函数的单调性的判断与证明，涉及函数单调性的性质，属中档题．