Question

9．已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，且过点$P（1，\frac{3}{2}）$，直线l：y=kx+m交椭圆E于不同的两点A，B，设线段AB的中点为M．
（1）求椭圆E的方程；
（2）当△AOB的面积为$\frac{3}{2}$（其中O为坐标原点）且4k²-4m²+3≠0时，试问：在坐标平面上是否存在两个定点C，D，使得当直线l运动时，|MC|+|MD|为定值？若存在，求出点C，D的坐标和定值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$，则a²：b²：c²=4：3：1，设出椭圆E：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=λ（λ＞0）$又椭圆过点$P（1，\frac{3}{2}）$，然后求解椭圆方程．
（2）当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，并设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立方程$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$，利用韦达定理以及判别式，弦长公式点到直线的距离公式表示三角形的面积，结合mk的关系，求解|MC|+|MD|为定值$2\sqrt{3}$．

解答 解：（1）由于椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$，则a²：b²：c²=4：3：1，
故椭圆E：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=λ（λ＞0）$又椭圆过点$P（1，\frac{3}{2}）$，
从而$λ=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$，
从而椭圆E的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（2）当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，并设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立方程$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
则$\left\{\begin{array}{l}△=48（4{k^2}-{m^2}+3）＞0\\{x_1}+{x_2}=\frac{-8km}{{4{k^2}+3}}\\{x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-12}}{{4{k^2}+3}}\end{array}\right.$
从而${y_1}+{y_2}=k（{x_1}+{x_2}）+2m=\frac{6m}{{4{k^2}+3}}$，从而点M的坐标为$（\frac{-4km}{{4{k^2}+3}}，\frac{3m}{{4{k^2}+3}}）$
由于$|AB|=\sqrt{1+{k^2}}|{x_1}-{x_2}|=\sqrt{1+{k^2}}\frac{{\sqrt{48（4{k^2}-{m^2}+3）}}}{{4{k^2}+3}}$，
点O到直线l的距离为$d=\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，
则△AOB的面积${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|AB|•d=2\sqrt{3}•\frac{{\sqrt{{m^2}（4{k^2}-{m^2}+3）}}}{{4{k^2}+3}}$，
由题得：${S_{△AOB}}=2\sqrt{3}•\frac{{\sqrt{{m^2}（4{k^2}-{m^2}+3）}}}{{4{k^2}+3}}=\frac{3}{2}$，
从而化简得：3（4k²+3）²-16m²（4k²+3）+16m⁴=0，
故[（4k²+3）-4m²][3（4k²+3）-4m²]=0，即${m^2}=\frac{{4{k^2}+3}}{4}$或${m^2}=\frac{{3（4{k^2}+3）}}{4}$，
又由于4k²-4m²+3≠0，从而${m^2}=\frac{{3（4{k^2}+3）}}{4}$．
当${m^2}=\frac{{3（4{k^2}+3）}}{4}$时，由于${x_M}=\frac{-4km}{{4{k^2}+3}}$，${y_M}=\frac{3m}{{4{k^2}+3}}$，
从而${（\frac{x_M}{2}）^2}+{（\frac{y_M}{{\sqrt{3}}}）^2}={（\frac{-2km}{{4{k^2}+3}}）^2}+{（\frac{{\sqrt{3}m}}{{4{k^2}+3}}）^2}=\frac{{{m^2}（4{k^2}+3）}}{{{{（4{k^2}+3）}^2}}}=\frac{3}{4}$，
即点M在椭圆$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{{\frac{9}{4}}}=1$上．
由椭圆的定义得，存在点$C（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，0）$，$D（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，0）$或$D（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，0）$，$C（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，0）$，
使得|MC|+|MD|为定值$2\sqrt{3}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查设而不求的方法的应用，考查转化思想以及计算能力．