Question

已知x2+3x+b≥

1

3

-

1

x2

-

3

x

（x∈R且x≠0）恒成立，则b的最小值为（　　）

• A．-

  23

  3

• B．

  55

  12

• C．

  13

  3

• D．

  7

  3

Answer 1

分析：已知x2+3x+b≥

1

3

-

1

x2

-

3

x

，通过转化可得b≥-x²-3x-

1

x2

-

3

x

+

1

3

，再利用均值不等式进行放缩，从而求出b的最小值；

解答：解：∵x2+3x+b≥

1

3

-

1

x2

-

3

x

（x∈R且x≠0）恒成立，
可得b≥-x²-3x-

1

x2

-

3

x

+

1

3

，（x∈R且x≠0）恒成立，
求出-x²-3x-

1

x2

-

3

x

+

1

3

的最大值，
∵-x²-

1

x2

=-（x²+

1

x2

）≤-2，（x=1时等号成立）；
-3x-

3

x

=-3（x+

1

x

）≤-6（x=1时等号成立）；
∴-x²-3x-

1

x2

-

3

x

+

1

3

≤-2-6+

1

3

=-

23

3

；
∴b≥-

23

3

，
故选A；

点评：此题考查函数的恒成立问题及均值不等式的应用，解题的过程中用到了转化的思想，是一道基础题；