Question

【题目】设函数（其中为实数）.

（1）若，求零点的个数；

（2）求证：若不是的极值点，则无极值点.

Answer 1

【答案】（1）有个零点；（2）证明见解析.

【解析】

（1）求得函数的导数，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理判断出函数在区间和上的零点个数，由此可得出结论；

（2）分析出当时，是函数的极值点，在时，求得，可知函数在上单调递增，令得，对与的大小进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，由此可证得结论.

（1）由题意得，所以，

又，且，所以恒成立，从而函数在上单调递增，

所以当时，；当时，.

则函数在上单调递减，在上单调递增，

因为，，函数在上单调递减且图象连续不断，

所以函数在上恰有个零点，

因为，，函数在上单调递增且图象连续不断，

所以函数在上恰有个零点，

综上所述，当时，函数有个零点；

（2）由（1）知，当时，函数在上单调递增，

又，当时，；当时，.

所以，是函数的极小值点.

同理当时，也是函数的极小值点.

当时，由得，且在上单调递增.

所以当时，；当时，，

从而函数在上单调递减；在上单调递增.

若，即，则当时，，当时，，则是函数的极值点；

同理若，即，则也是函数的极值点；

若，即，，则函数在上单调递增，此时不是函数的极值点.

综上可知，若不是函数的极值点，则，函数在上单调递增，从而函数无极值点.