Question

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）。
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对任意的t∈[1，2]，若函数g(x)=x³+x²[f′（x）+]在区间（t，3）上有最值，求实数m取值范围；
（3）求证：）（n∈N*且n>1）。

Answer 1

解：（1），
当a>0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a<0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a=0时，f（x）不是单调函数；
（2）得a=-2，
∴，
∴，
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g（0）=-2，
∴，
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）<0恒成立，
所以，，
∴；
（3）令a=-1此时，所以f（1）=-2，
由（1）知在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时，f（x）>f（1），
即，
∴，对一切x∈（1，+∞）成立，
取，则，即，（n≥2），
∴。