题目内容
已知f（x）=（x-1）2，g（x）=10（x-1），数列{an}满足（an+1-an）g（an）+f（an）=0，a1=2，bn=
(n+2)(an-1)
（I）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{bn}中最大项．
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（I）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{bn}中最大项．
分析：（I）将an代入函数f（x）与g（x）的解析式化简得（an-1）[10×（an+1-an）+an-1]=0，两边除以an-1，得10（an+1-1）=9（an-1），而a1-1=1，{an-1}就是首项为1，公比为
的等比数列，从而可求得an-1，进而得到an．
（Ⅱ）求出bn的通项公式，然后研究{bn}的单调性，从而求出n取何值时，bn取最大值，以及最大值；
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（Ⅱ）求出bn的通项公式，然后研究{bn}的单调性，从而求出n取何值时，bn取最大值，以及最大值；
解答：解：（I）由方程（an+1-an）g（an）+f（an）=0，
得：（an+1-an）×10×（an-1）+（an-1）2=0，
整理得（an-1）[10×（an+1-an）+an-1]=0；
显然由a1=2，知{an}显然不是常数列，且不等于1，所以两边除以an-1；
得10×（an+1-an）+an-1=0，整理后得：10（an+1-1）=9（an-1），
a1-1=1，则{an-1}就是首项为1，公比为
的等比数列．
所以an-1=(
)n-1，an=(
)n-1+1；
（Ⅱ）将an-1=（
）n-1代入bn=
（n+2）（an-1），得bn=（
）n×（n+2）．
bn+1-bn=（
）n+1×（n+3）-（
）n×（n+2）=（
）n×
．
∴{bn}在[1，7]上单调递增，在[8，+∞）上单调递减，
∴当n取7或8时bn取最大值，最大值为9×（
）7．
得：（an+1-an）×10×（an-1）+（an-1）2=0，
整理得（an-1）[10×（an+1-an）+an-1]=0；
显然由a1=2，知{an}显然不是常数列，且不等于1，所以两边除以an-1；
得10×（an+1-an）+an-1=0，整理后得：10（an+1-1）=9（an-1），
a1-1=1，则{an-1}就是首项为1，公比为
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所以an-1=(
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（Ⅱ）将an-1=（
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bn+1-bn=（
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| 7-n |
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∴{bn}在[1，7]上单调递增，在[8，+∞）上单调递减，
∴当n取7或8时bn取最大值，最大值为9×（
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点评：本题主要考查了等比数列的判定，以及数列的最值和数列的单调性的判定，是一道综合题，有一定的难度．
练习册系列答案
相关题目
已知f （x）=sin （x+
），g （x）=cos （x-
），则下列命题中正确的是（ ）
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| A、函数y=f（x）•g（x）的最小正周期为2π | ||||
| B、函数y=f（x）•g（x）是偶函数 | ||||
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D、函数y=f（x）+g（x）的一个单调增区间是[-
|
已知f（x）=
，设g（x）是函数f（x）在区间[0，+∞）上的导函数，问是否存在实数a，满足a＞1并且使g（x）在区间
上的值域为
，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
，设g（x）是函数f（x）在区间[0，+∞）上的导函数，问是否存在实数a，满足a＞1并且使g（x）在区间
上的值域为
，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．