Question

已知函数f（x）=x²-x+a+1
（1）若f（x）≥0对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．
（2）求f（x）在区间（-∞，a]上的最小值g（a）的表达式．

Answer 1

（1）∵二次函数f（x）=x²-x+a+1，且f（x）≥0对一切实数x恒成立，
∴△=（-1）²-4（a+1）≤0，即-4a-3≤0，解之得a≥-

3

4

因此，实数a的取值范围是[-

3

4

，+∞）．
（2）配方，得f（x）=x²-x+a+1=（x-

1

2

）²+a+

3

4

①当a≤

1

2

时，函数在（-∞，a]上为减函数，所以最小值为f（a）=a²+1=g（a）；
②当a＞

1

2

时，函数在（-∞，

1

2

]上为减函数，在（

1

2

，a]上是增函数
此时，f（x）的最小值为f（

1

2

）=a+

3

4

因此f（x）在区间（-∞，a]上的最小值g（a）的表达式为：
g（a）=.

a2+1       (a≤ 1 2 ) a+ 3 4          (a＞ 1 2 )

．