Question

（2011•揭阳一模）已知函数f（x）=sinx+cos（π-x），x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的最大值和最小值；
（3）若f(α)=

1

4

，α∈(0，

π

2

)，求sinα+cosα的值．

Answer 1

分析：（1）将函数解析式先利用诱导公式变形后，再利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化简为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式T=

2π

|ω|

，即可求出函数f（x）的最小正周期；
（2）由正弦函数的值域得到f（x）的值域，即可得到函数f（x）的最大值和最小值；
（3）由f（α）=

1

4

及确定出的函数解析式，得到sinα-cosα的值，两边平方后利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式变形，求出sin2α的值，再利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系表示出（sinα+cosα）²，将求出的sin2α的值代入，根据α的范围，得到sinα+cosα大于0，开方即可得出sinα+cosα的值．

解答：解：（1）∵f（x）=sinx-cosx=

2

sin（x-

π

4

） x∈R，（2分）
∴ω=1，
∴函数f（x）的最小正周期T=

2π

1

=2π；（3分）
（2）∵sin（x-

π

4

）∈[-1，1]，
∴f（x）∈[-

2

，

2

]，
则函数f（x）的最大值为

2

，最小值为-

2

；（5分）
（3）由f（α）=

1

4

得：sinα-cosα=

1

4

，
∴（sinα-cosα）²=

1

16

，（6分）
1-sin2α=

1

16

，即sin2α=

15

16

，（7分）
∴（sinα+cosα）²=1+sin2α=1+sin2α=1+

15

16

=

31

16

，（9分）
∵α∈（0，

π

2

），∴sinα+cosα＞0，
∴sinα+cosα=

31

4

．（12分）

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．