Question

【题目】已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为（1，0），A，B是抛物线上位于x轴两侧的两动点，且 =﹣4（O为坐标原点）．
（1）求抛物线方程；
（2）证明：直线AB过定点T；
（3）过点T作AB的垂线交抛物线于M，N两点，求四边形AMBN的面积的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为（1，0），可得p=2，

抛物线方程为y2=4x

（2）证明：设lAB：x=my+t与抛物线y2=4x联系得：y2﹣4my﹣4t=0

设A（x1，y1），B（x2，y2），则 （*）

∴ ，由 得：x1x2+y1y2=﹣4即t2﹣4t+4=0，

∴t=2，∴lAB：x=my+2，故直线AB过定点T（2，0）

法2：设 ， ，由 ∴ ，

又有 ，

∴ ，

令y=0得 ，

所以直线AB过定点T（2，0）

（3）解：当t=2时，由（*）得： ，

同理有 ，从而 ，

∴

=

= ，

令 ，

则： ，

易知（2+u）（5+2u）随着u增加单调递增，

故当u=2即m2=1时∴ min=48

【解析】（1）求出p即可求解抛物线方程．（2）设lAB：x=my+t与抛物线y2=4x联系得：y2﹣4my﹣4t=0，设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），利用韦达定理以及判别式通过 得lAB：x=my+2，得到直线AB过定点T（2，0）．
法2：设 ， ，由 ，求解直线方程，然后求解定点坐标．（3）当t=2时，由（*）得弦长|AB|，求出|MN|，表示三角形的面积，利用函数的单调性，求解三角形面积的最值．