Question

过点M（0，2）且与双曲线

x2

9

-

y2

4

=1仅有一个公共点的直线共有

4

条．

Answer 1

分析：分过点M（0，2）且分别与渐近线平行的两条直线与双曲线有且仅有一个交点；设过点M（0，2）且与双曲线相切的直线为y=kx+2与双曲线有且仅有一个公共点．

解答：解：由双曲线

x2

9

-

y2

4

=1得其渐近线方程为y=

2

3

x．
①过点M（0，2）且分别与渐近线平行的两条直线y=

2

3

x+2，y=-

2

3

+2与双曲线有且仅有一个交点；
②设过点M（0，2）且与双曲线相切的直线为y=kx+2，联立

y=kx+2 x2 9 - y2 4 =1

，化为（4-9k²）x²-36kx-72=0，
∵△=（-36k）²+4×72×（4-9k²）=0，化为9k²=8，解得k=±

2 2

3

．
则切线y=

2 2

3

x+2，y=-

2 2

3

x+2分别与双曲线有且仅有一个公共点．
综上可知：过点M（0，2）且与双曲线

x2

9

-

y2

4

=1仅有一个公共点的直线共有4条．
故答案为4．

点评：正确理解：过点M（0，2）且分别与渐近线平行的两条直线与双曲线有且仅有一个交点，过点M（0，2）且与双曲线相切的直线为y=kx+2与双曲线有且仅有一个公共点是解题的关键．