Question

数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=3a_n-2．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n的公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=3a_n-2，知a_n+1-1=3（a_n-1），故

an+1-1

an-1

=3，a₁-1=2-1=1，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由an=3n-1+1，知S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=3⁰+1+3¹+1+3²+1+…+3^n-1+1，由此能求出数列{a_n}的前n项和S_n的公式．

解答：解：（Ⅰ）∵数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=3a_n-2，
∴a_n+1-1=3（a_n-1），
∴

an+1-1

an-1

=3，a₁-1=2-1=1，
∴{a_n-1}是首项为1，公比为3的等比数列，
∴an-1=3n-1，
∴数列{a_n}的通项公式为an=3n-1+1．
（Ⅱ）∵an=3n-1+1，
∴S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n
=3⁰+1+3¹+1+3²+1+…+3^n-1+1
=

1×(1-3n)

1-3

+n
=

3n-1

2

+n．
即数列{a_n}的前n项和S_n的公式为Sn=

1-3n

1-3

+n=

3n-1

2

+n．

点评：本题考查数列的通项公式的求法和数列前n项和公式的求法，注意构造法和分组求和法的合理运用．