题目内容
【题目】如图，四棱锥
中，
，
，
，
，侧面
为等边三角形.
（1）证明：
；
（2）求二面角
的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
试题分析：（1）根据矩形的性质与正三角形的性质可证
，
，得
平面
，进而
；（2）分别以
的方向为
轴，
轴，
轴的正方向建立空间直角坐标系
，求出平面
的法向量 ，而知
是平面
的法向量，根据空间向量夹角余弦公式可得二面角的余弦，进而求得正弦值.
试题解析：（1）取
的中点
，连接
，则四边形
为矩形，
∴，
∵
为等边三角形，
∴.
∵
，
∴平面.
平面
，.
（2）由（1）知，
，过
作
平面
，则
两两垂直，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则
，
∵
，
∴
，∴
平面，
∴
，，
设平面的法向量为
.
∵
，
，
∴
，
∴
，取
，则
，
设二面角
为
，则
，
∴二面角的正弦值
.
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