Question

（本小题满分14分）
如图，三棱柱中，侧面底面，,
且,O为中点.
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）在上是否存在一点，使得平面，若不存在，说明理由；若存在，
确定点的位置.

Answer 1

存在这样的点E，E为的中点.   

（Ⅰ）证明：因为，且O为AC的中点，
所以.                                                             ………………1分
又由题意可知，平面平面，交线为，且平面，    
所以平面.                                                  ………………4分
（Ⅱ）如图，以O为原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.
由题意可知，又
所以得:
则有：                                  ………………6分
设平面的一个法向量为，则有
，令，得
所以.                                      ………………7分
.                         ………………9分
因为直线与平面所成角和向量与所成锐角互余，所以.                                                                      ………………10分
（Ⅲ）设                                    ………………11分
即，得
所以得        ………………12分
令平面，得 ，                              ………………13分
即得
即存在这样的点E，E为的中点.                           ………………14分