Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，a_n+1=2S_n．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）设b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（1）∵a₁=1，
∴a₂=2a₁=2，a₃=2S₂=6，a₄=2S₃=18，
（2）∵a_n+1=2S₁，∴a_N=2S_n-1（n≥2），
∴a_n+1-a_n=2a_n，

an+1

an

=3（n≥2）
又

a2

a1

=2，∴数列{a_n}自第2项起是公比为3的等比数列，
∴an=

1(n=1) 2×3n-2(n≥2)

，

（3）∵b_n=na_n，∴bn=

1(n=1) 2n×3n-2(n≥2)

，
∴T_n=1+2×2×3⁰+2×3×3¹+2×4×3²++2×n×3^n-2，…①
3T_n=3+2×2×3¹+2×3×3²+2×4×3³++2×n×3^n-1…②（12分）
①-②得-2T_n=-2+2×2×3⁰+2×3¹+2×3²++2×3^n-2-2×n×3^n-1
=2+2（3+3²+3³++3^n-2）-2n×3^n-1=（1-2n）×3^n-1-1
∴Tn=(n-

1

2

)×3n-1+

1

2

．（14分）